Quadrati magici

Un quadrato magico consiste in una serie di numeri naturali disposti in una tabella quadrata in modo che la somma dei numeri di ogni riga, in ogni colonna, e nelle due diagonali dia sempre lo stesso risultato. Il suo ordine è il numero di elementi presenti in ogni riga (o in ogni colonna).

I quadrati magici hanno interessanti proprietà aritmetiche e combinatoriche (studiate, per esempio, da Michael Stifel, Gerolamo Cardano, Claude-Gaspard Bachet, Marin Mersenne, Pierre de Fermat e Leonhard Euler), ma il fascino che hanno esercitato nelle più diverse civiltà -dall’antica Cina all’India dei Veda, dall’Islam all’Occidente medievale- risiede nel valore numerologico che viene loro attribuito.

Di particolare rilevanza è il significato dei quadrati magici nella tradizione alchemica. Il grande alchimista di origine iraniana Jābir ibn Hayyān (circa 721-815) elabora una “teoria della bilancia” in cui cerca di spiegare le proprietà osservabili delle sostanze in termini di strutture numeriche. Nella sua opera ha grande importanza la successione di numeri 1, 3, 5, 8 e 28, a partire dalla quale analizza le relazioni tra i diversi metalli.

Tale successione numerica è derivata da un semplice quadrato magico 3×3 composto dalle prime 9 cifre: “Questo quadrato può essere diviso in un quadrato 2×2 e in uno gnomone. La successione di Jābir comprende i numeri del quadrato 2×2 -cioè 1, 3, 5, 8- insieme con la loro somma (17) e la somma dei numeri dello gnomone (28). Ogni metallo è dotato di una struttura numerica specifica e possiede una natura “interna” ed “esterna” rappresentata da diversi numeri. Il segreto della trasmutazione risiede nel “bilanciare” questa struttura numerica in modo da ottenere il “numero perfetto” (28), che è associato all’oro (Toulmin e Goodfield).

Uno dei più celebri quadrati magici è quello, di ordine 4, raffigurato nell’incisione Melencolia I di Albrecht Dürer (immagine sottostante). Come osservano Klibansky, Panofsky e Saxl nel magistrale saggio Saturno e la melanconia (1983), questo quadrato magico costituisce “un talismano per attirare l’influenza salutifera di Giove”, che si deve interpretare come “il sostituto non pittorico, ma matematico, di quelle immagini di divinità astrali raccomandate dal Ficino, da Agrippa, e da tutti gli altri maestri della magia bianca”. Può essere interessante notare che Luca Pacioli -che Dürer ha forse incontrato in occasione di un viaggio a Bologna- scrive nel 1500 un breve trattato sui simboli dei pianeti in cui compare una versione del quadrato di Giove che presenta la stessa disposizione numerica che si osserva nella Melancolia I. Si osservi infine che la data dell’incisione, 1514, compare nell’ultima riga del quadrato, accostando i numeri 15 e 14.

 

melencolia_dürer