La sfuggente ambiguità del concetto di infinito

 

I numeri enormemente grandi, per quanto possano disorientare le nostre facoltà cognitive, non generano paradossi.

Non così invece l’infinito, un concetto che -nelle parole di Borges- “corrompe e confonde tutti gli altri”.

Già duemila e cinquecento anni fa le sottili argomentazioni di Zenone di Elea -definite paradossi in quanto “contrari all’opinione comune”- mettevano in risalto il dirompente potenziale problematico insito nell’idea di infinito. Se un segmento viene diviso a metà, ogni metà a metà, ogni quarto ancora a metà, e così di seguito, che cosa risulterà da questo procedimento di bisezione iterata? Non una grandezza divisibile, perché altrimenti potrebbe essere ulteriormente divisa: un punto “indivisibile” e privo di dimensione oppure addirittura niente?

In entrambi i casi si perviene a un assurdo. Qual è la costituzione delle grandezze continue? Com’è possibile il movimento? Esiste la pluralità o si tratta solo di un’apparenza dietro la quale si nasconde la monolitica immobilità dell’essere parmenideo?

Aristotele istituì una distinzione fondamentale tra infinito attuale e infinito potenziale che si trova ampiamente discussa nel libro III della Fisica. Solo il secondo è ammissibile, dato che infinito “non è ciò che nulla ha fuori di esso, ma ciò che ha sempre qualcosa fuori di esso”. Così, “il numero di volte in cui una grandezza può essere divisa è infinito”, ma soltanto in potenza, in quanto “può essere preso più grande di ogni limite dato”.

In accordo con questa concezione, ogni quantità continua, sebbene divisibile all’infinito, non è “composta di indivisibili”: per esempio, un segmento non è composto di punti.

Nel pensiero cristiano -non esente da forti influenze neoplatoniche- l’assunto aristotelico dell’impossibilità dell’infinito attuale si trovò a cozzare contro il presupposto teologico dell’onnipotenza di Dio. Così, Agostino, nel De civitate Dei, sosteneva che i numeri sono infiniti e che si inabissa “in un baratro di profonda empietà” chi afferma che “Dio non possa conoscerli tutti”. Molti secoli dopo, Giovanni Buridano (1300-1362 circa) domandava, più sottilmente, se Dio possa creare una pietra infinita o portare a termine il processo infinito di divisione del continuo. È possibile trovare argomentazioni puramente logiche -dunque non limitative della potenza divina- che estromettano l’infinito attuale dalla filosofia naturale?

Un’argomentazione di questo genere -assai persuasiva per molti filosofi della Scolastica- è fornita dal paradosso degli infiniti disuguali, il quale si può così formulare: assumendo l’esistenza di infiniti attuali, risulta che alcuni sono più grandi di altri che costituiscono anche loro parte propria (per esempio, tutti i numeri rispetto ai numeri pari); dato che, per assioma, tutti gli infiniti sono uguali, si ha così il caso di una parte che non è minore, bensì uguale al tutto (il che è assurdo). A questo paradosso (che ricorre di frequente nella lunga controversia sull’eternità del mondo -gli infiniti disuguali sono, per esempio, come in un passo di Bonaventura da Bagnoregio, le rivoluzioni del Sole e della Luna intorno alla Terra-) vari autori (Nicola Oresme, Alberto di Sassonia e prima di loro Averroè) ribatterono sostenendo che le usuali relazioni di “minore-maggiore” e “parte-tutto” non sono applicabili al caso di quantità infinite. Un’analisi assai fine dei termini del problema è sviluppata, nella prima metà del XIV secolo, da Gregorio da Rimini, il quale asserisce che la nozione “contenere come parte” può essere intesa in due sensi diversi: “un tutto che contiene qualcosa […] e qualcos’altro in aggiunta”, oppure, più specificamente, “un tutto che contiene qualcosa e che contiene tanti elementi quanti ciò che è contenuto non contiene”. Fautore dell’infinito attuale, Gregorio argomentava che una quantità infinita può contenerne un’altra infinita nel primo senso, ma non nel secondo (la validità di questa conclusione sarà confutata cinquecento anni più tardi dai risultati di Georg Cantor).

L’interdizione aristotelica nei confronti degli indivisibili è ribadita con la forza, sulla base di una diversa concezione ontologica, da Guglielmo di Ockham. Per quest’ultimo la parola punto non designa una “cosa” realmente esistente, ma è soltanto un termine usato in sostituzione di proposizioni più articolate che concernono “cose” reali. A sostegno della tesi che il continuo non sia composto di punti si adducono anche argomenti matematici che si basano su particolari costruzioni geometriche (già discusse, in verità, sia nella Metafisica di al-Gazali sia da Giovanni Duns Scoto). Se, per esempio, si considerano due circonferenze concentriche e, tracciando tutti i raggi, si mettono in corrispondenza tutti gli ipotetici punti che compongono quella interna con tutti i punti di quella esterna, ecco che si perviene al paradosso che le due circonferenze hanno uguale lunghezza. Un paradosso, anche questo, generato dalla sfuggente ambiguità del concetto di infinito.

 

Manifesto pubblicitario del cacao Droste (circa 1950). L'immagine contiene una copia più piccola di se stessa, che a sua volta contiene una copia, e così via, potenzialmente all'infinito. In grafica si parla in questi casi di "effetto Droste".

 

[Manifesto pubblicitario del cacao Droste (circa 1950).
L’immagine contiene una copia più piccola di se stessa, che a sua volta contiene una copia, e così via, potenzialmente all’infinito. In grafica si parla in questi casi di “effetto Droste”].